EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

Nas expressões aritméticas com quatro operações, se respeita as seguintes regras.

1º Se efetua multiplicação ou divisão na ordem que aparecem 

2º Se efetua adição ou subtração na ordem que aparecem.

Exemplo:

          17+7x9÷3-15 =

            17+63÷3-15=

              17+21-15=

                  38-15 =

                     23

3º Caso haja parênteses ( ) Cochetes [ ] ou Chaves { },Se efetua primeiro os números que há dentro dos parênteses , depois os colchetes e depois as chaves , e por últimos os números de fora.Caso os números dentro dos parênteses contenham mais que uma operação , respeita a ordem 1 divisão e subtração , 2 subtração e adição.

                 {3+[21x(36-5x7)]}÷8= =

                   {3+[21x(36-35)]}÷8= =

                    {3+[21x1]}÷8= =

                      {3+21}÷8= =

                         24÷8 = =

                            =3=

No futuro , você saberá ou se ja sabe  , operação onde usa o "x" como número não conhecido , o sinal da multiplicação passa a ser • ou * na computação e na divisão : ou / na computação ou ----- na fração que também representa divisão do numerador pelo denominador para obter número decimal.

Outro sinal de multiplicação é o X que sempre será como se ele fosse multiplicado por outros números.

por exemplo: 3x = 21 x = 21/3 = 7 porque 7 x 3 = 21.

   

Numerais romanos

Com a necessidade de contar coisas e registrar fatos com números  , na roma antiga , foi criado  os números romanos.
Os números romanos são representados por algumas letras maiúsculas que temos no nosso alfabeto e também respeitam regras específicas mas antes de tudo.

•Porque é necessário aprender números romanos,se vivemos no Brasil?
Faz parte da história os números romanos , eles foram usados durante todo império romano antigo que se estendia por grande parte da Europa.
E até hoje em dia é usado para indicar Horas em alguns relógios , Séculos , para indicar pessoas , locais e substitui números ordinais
Exemplos:
Papa Bento 16 = Papa Bento XVI
Século 21 = Século XI
esta é a 3ª caminhada contra o câncer = esta é a III caminhada contra o Câncer.

•Os números
                                                                                                          __                  __
 I = 1     V = 5    X = 10   L = 50   C = 100   D = 500   M = 1000   V = 5000       X  = 10000 e etc...

Alguns números

I = 1                   XI = 11               XXI = 21           C = 100                   M = 1000
II = 2                  XII = 12              XXII = 22          CC = 200                MM = 2000
III = 3                 XIII = 13             XXX = 30         CCC = 300             MMM = 3000
IV = 4                 XIV = 14             XL = 40            CD = 400                       ___
V = 5                  XV = 15               L =50        D = 500   a partir de 4000 =  IV
VI = 6                 XVI = 16             LX = 60             DC = 600
VII = 7                XVII = 17            LXX = 70          DCC = 700
VIII = 8               XVIII = 18           LXXX = 80       DCCC = 800
IX = 9                 XIX = 19              XC = 90            CM = 900
X = 10                XX = 20                XCIX = 99        CMXCIX = 999

Regras:
•Símbolos iguais Decimais {1,10,100,1000 =  I , X , C , M }até 3 são somas de valores exemplo não junte simbolos não decimais {5,50,500 = V , L , D }

III = 1+1+1 = 3                               CCC = 100 + 100 + 100 = 300
XXX = 10 + 10 + 10 = 30              MMM = 1000 + 1000 + 1000 = 3000

•Símbolos decimais antes de símbolos decimais ou não decimais significa subtração do maior pelo menor
Exemplos
IV = 5 - 1 = 4
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 - 10 = 40
XC = 100 - 10 = 90
CD = 500 - 100 = 400
CM = 1000 - 100 = 900

•Os romanos escreviam com seus símbolos na forma decomposta assim como abaixo
3629 = 3000 + 600 + 20 + 9 = MMM + DC + XX + IX = MMMDCXXIX
569 = 500 + 60 + 9 = D + LX + IX = DLXIX
3090 = 3000 + 90  = MMM + IC =  MMMIC.

Números Negativos

Na visão de algumas pessoas o menor número é 0 ou 1 , mas há os números menores e eles são infinitos.
Alguma vez ao fazer uma subtração em que o minuendo é menor que o subtraendo como 5 - 7 , entra os números negativos em ação pois não há como subtrair 7 de 5 tendo o menor número 0 , o resultado de
5-7 = -2.
Caso você deve algo a um banco , seu saldo será negativo por exemplo , deve 3500 reais ao banco então seu saldo será -R$ 3.500,00.
Os números negativos compões o conjunto dos números Inteiros{ ... , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}.
Assim como os números positivos eles são infinitos.

os números negativos multiplicados ou divididos , respeitam uma regra de sinais
(+)(+) = +
(-)(+) = -
(+)(-) = -
(-)(-) = +
sendo (-) um número postivo e (+) um número positivo , assim
(-7) x (9) = -63 porque + com - = -
(-25) : (-5) = 5 porque - com - = +

Caso não haja  a multiplicação ou divisão e anão tiver parênteses no segundo número ,  a regra  não será mais respeitada.
(-6) + 3 = -3 pois se devo 6 reais e pago 3 deverei 3.
(-50) - 6 = -56 pois se devo 50 e compro mais 6 reais fiado , deverei 56

Logo se houver parênteses no segundo número e for uma subtração ou adição , pega-se os dois últimos sinais e se faz a regra
6 + (-3) = 6 - 3 = 3 , porque + com - = -
6 - (-3) = 6 + 3 = 9 , porque - com - = +

Expressões com números negativos

A regra da expressão muda quando houver número negativo , pois os números entre parênteses negativos e fora sendo positivo ou vice-versa e mesmo os dois negativos, será aplicada a regra.

1º se elimina os parênteses respeitando a regra
2º os colchetes
3º as chaves
4º se faz as multiplicações e divisões
5º se faz as subtrações e adições

3 + [-13 - (-5 * 9)]= =
3 + [-13 +5 * 9 ] = =
3 - 13 + 5 * 9 = =
3 - 13 + 45 = =
= -10 + 45 = 35.

Treine em casa e comente dúvidas

Decomposição em números primos

Na matemática , quando você tem um exercício para calcular a soma de uma fração ou o MMC de dois ou mais números ou seu MDC , deve-se saber os números primos recém postados no blog e o método da decomposição em números primos.

Se você leu a ultima postagem . você sabe que os números primos são {2,3,5,7,11,13,17,19,23,etc..} pois eles só podem ser divididos por ele mesmo e por 1.

na decomposição coloca-se o número e quais números primos o dividem , um exemplo o número 660.

Para decompô-lo , devemos começar pelo primeiro número primo e verificar se ele divide 660 , como 2 é o primeiro número primo 2 e 660 é par , então efetuamos a divisão 

660|2

330| /

o 330 também é par efetuamos a divisão novamente

660|2

330|2

115| /

no caso do 115 , ele não é par , e também 3 não divide ele pois 1 + 1 + 5  = 7 que não é múltiplo de 3 , então o próximo número primo da lista é 5 e efetuamos a divisão

660|2

330|2

115|5

  23|

agora o caso do 23 ja é um número primo , então encerramos a fatoração 

660|2

330|2

115|5

  23|23

    1| / 2 x 2 x 5 x 23

conclusão , 660 é = 2 x 2 x 5 x 23.

a decomposição também pode ser feita com mais números sempre começando verificando se algum número é divisível por 2 depois 3 , 5 , 7 , etc...  , caso só um número seja divisível faça a divisão e continue assim mesmo como no exemplo :

20,15|2

10,15|2

  5,15|3

  5,5  |5

  1,1  |/ 2 x 2 x 3 x 5 

nota-se que o 20 é 2 x 2 x 5 e o 15 é 3 x 5.

Números primos e Números compostos

sabia que 
NÚMEROS COMPOSTOS
São todos os números que não são primos

NÚMEROS PRIMOS:{2,3,5,7,11,...}
 infinitos

números primos são todos os números cardinais que são divisíveis por 1 e por ele mesmo.
O número 0 nem o número 1 entra nesta lista , não há como dividir 0 por 1.

para verificar se um número é primo ou não , deve se fazer a divisão de um número primo por todos outros números primos , caso ele não seja divisor de nenhum outro número primo ao não ser ele mesmo e número 1 , ele será um número primo.
A lista do números primos que começa no 2 pois como não há outro número que é divisor de 2 ao não ser 2 e 1 , rapidamente se vê que nenhum número par acima de 2 é primo{4,6,8,10,12,etc...}.Logo se tem o número 3 que não é divisível por 2 , então ele é primo e rapidamente se elimina todos números múltiplos de 3 menos o 3 {6,9,12,15,18,21,24,etc...}.E vemos que o número 5 não está na lista , então podemos liminar todos números múltiplos de 5 menos o 5 {10,15,20,25,30,35,40,etc...}.Essa é uma forma rápida de eliminar vários números desta lista infinita.
Note que:
•Todo número múltiplo de 2 é par então nenhum número par acima de 2 é primo.
•Todo número múltiplo de 3 se somar seus algarismo e dividir por 3 a divisão terá resto 0 (exemplos 792 é múltiplo de 3 pois 7 + 9 + 2 = 18/3 = 6 resto 0 , 57 é também pois 5 + 7 = 12/3= 4 resto 0 ).
•Todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5 ( ex: 10 , 25 , 635 , 56965365 ).

 Somente com esses 3 números quando verificar se um número é divisor deles , pode-se eliminar aproximadamente 75% dos números são divisíveis por  2, ou 3, ou 5.
Só com isso , você podemos achar 72 números que não são primos de 1 a 100 (apenas 5 dos números que não serão achados serão números compostos)
Achada a lista de números compostos múltiplos de 2 , 3 , 5 sem repetição (exceto eles mesmos)

{4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,
70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100} 49 números
{,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99} 16 números excluindo múltiplos de 2
{,25,35,55,65,85,95} 6 números excluindo múltiplos de 3 

Temos então o números compostos de 0 a 100 = 49 + 16 + 6 + o número 1 = os 72 números compostos.

agora para achar os últimos números compostos pegamos os não múltiplos de 2 , 3 , 5 { 7,11,13,17,19,23 ,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61,67,71,73,77,79,83,89,91,97} 25 números.

7 é o próximo número primo e como 7x2 = 14 sabemos então que 11 e 13 também são , agora basta ver os
múltiplos do número 7 até 100 se algum deles está na lista , achamos então os números 49 (7*7) 77 (7*11) e 91 (7*13).
Não precisa-se de mais contas para os números de 0 a 100 pois há uma afirmação , um número quando for descobrir se ele é primo , divida o pelos números primos até sua raiz quadrada , no caso a raiz quadrada de 100 é 10 e como  nem 9 nem 8 é primo , então basta dividir até 7 para encontrar a lista dos números até 100 no caso dos números de 0 a 1000 , deve-se dividir por todos números primos até 31.

Então concluindo todos números primos aqueles que só tem 2 divisor , o 1 e ele mesmo.

Os números primos servem para fazer a fatoração MMC e MDC  , para ver MMC  e MDC ache as na secção M das postagens até o momento

Lista dos números primos até 10000

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521	523	541
547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941
947	953	967	971	977	983	991	997	1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163	1171	1181	1187	1193	1201	1213	1217	1223
1229	1231	1237	1249	1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321	1327	1361	1367	1373
1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439	1447	1451	1453	1459	1471	1481	1483	1487	1489	1493	1499	1511
1523	1531	1543	1549	1553	1559	1567	1571	1579	1583	1597	1601	1607	1609	1613	1619	1621	1627	1637	1657
1663	1667	1669	1693	1697	1699	1709	1721	1723	1733	1741	1747	1753	1759	1777	1783	1787	1789	1801	1811
1823	1831	1847	1861	1867	1871	1873	1877	1879	1889	1901	1907	1913	1931	1933	1949	1951	1973	1979	1987
1993	1997	1999	2003	2011	2017	2027	2029	2039	2053	2063	2069	2081	2083	2087	2089	2099	2111	2113	2129
2131	2137	2141	2143	2153	2161	2179	2203	2207	2213	2221	2237	2239	2243	2251	2267	2269	2273	2281	2287
2293	2297	2309	2311	2333	2339	2341	2347	2351	2357	2371	2377	2381	2383	2389	2393	2399	2411	2417	2423
2437	2441	2447	2459	2467	2473	2477	2503	2521	2531	2539	2543	2549	2551	2557	2579	2591	2593	2609	2617
2621	2633	2647	2657	2659	2663	2671	2677	2683	2687	2689	2693	2699	2707	2711	2713	2719	2729	2731	2741
2749	2753	2767	2777	2789	2791	2797	2801	2803	2819	2833	2837	2843	2851	2857	2861	2879	2887	2897	2903
2909	2917	2927	2939	2953	2957	2963	2969	2971	2999	3001	3011	3019	3023	3037	3041	3049	3061	3067	3079
3083	3089	3109	3119	3121	3137	3163	3167	3169	3181	3187	3191	3203	3209	3217	3221	3229	3251	3253	3257
3259	3271	3299	3301	3307	3313	3319	3323	3329	3331	3343	3347	3359	3361	3371	3373	3389	3391	3407	3413
3433	3449	3457	3461	3463	3467	3469	3491	3499	3511	3517	3527	3529	3533	3539	3541	3547	3557	3559	3571
3581	3583	3593	3607	3613	3617	3623	3631	3637	3643	3659	3671	3673	3677	3691	3697	3701	3709	3719	3727
3733	3739	3761	3767	3769	3779	3793	3797	3803	3821	3823	3833	3847	3851	3853	3863	3877	3881	3889	3907
3911	3917	3919	3923	3929	3931	3943	3947	3967	3989	4001	4003	4007	4013	4019	4021	4027	4049	4051	4057
4073	4079	4091	4093	4099	4111	4127	4129	4133	4139	4153	4157	4159	4177	4201	4211	4217	4219	4229	4231
4241	4243	4253	4259	4261	4271	4273	4283	4289	4297	4327	4337	4339	4349	4357	4363	4373	4391	4397	4409
4421	4423	4441	4447	4451	4457	4463	4481	4483	4493	4507	4513	4517	4519	4523	4547	4549	4561	4567	4583
4591	4597	4603	4621	4637	4639	4643	4649	4651	4657	4663	4673	4679	4691	4703	4721	4723	4729	4733	4751
4759	4783	4787	4789	4793	4799	4801	4813	4817	4831	4861	4871	4877	4889	4903	4909	4919	4931	4933	4937
4943	4951	4957	4967	4969	4973	4987	4993	4999	5003	5009	5011	5021	5023	5039	5051	5059	5077	5081	5087
5099	5101	5107	5113	5119	5147	5153	5167	5171	5179	5189	5197	5209	5227	5231	5233	5237	5261	5273	5279
5281	5297	5303	5309	5323	5333	5347	5351	5381	5387	5393	5399	5407	5413	5417	5419	5431	5437	5441	5443
5449	5471	5477	5479	5483	5501	5503	5507	5519	5521	5527	5531	5557	5563	5569	5573	5581	5591	5623	5639
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